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Théorème ( d'Eisenstein ) étant un acui factoriel, si:
alors
![$ P\in \mathcal{P}(A[X])$](/p/g/b/img557.png)
Démonstration
Comme
 et que est factoriel,d'après la proposition 16,
on a  est un idéal premier non nul donc on peut appliquer l'énoncé précédent.
Exemple:
![$ P=X+5X^2Y-X^3Z^7+Y^2\in \mathcal{P}(\mathbb{Z}[X,Y,Z])$](/p/g/b/img748.png) car en interprétant
 comme un polynôme de
![$ \mathbb{Z}[X,Z][Y]$](/p/g/b/img749.png) i.e.un polynôme à une seule
indéterminée  et à coéfficients dans l'anneau factoriel
![$ \mathbb{Z}[X,Z]$](/p/g/b/img750.png) soit
 les conditions de EISENSTEIN II sont
vérifiées car est primitif vu que le coéfficient de  est
1 et de plus
![$ p=X\in \mathcal{P}(\mathbb{Z}[X,Z])$](/p/g/b/img753.png) vu que  est
primitif et du 1er degré(théorème de caractérisation des premiers
de ![$ A[X_i]$](/p/g/b/img6.png) où est un acui). on a bien
et
 .Doù
![$ P\in \mathbb{Z}[X,Z][Y]$](/p/g/b/img756.png) Dès
lors on en déduit que les 7 interprétations de par polymorphie
sont premières sur leurs anneaux de scalaires respectifs(théorème
1).
Guy_Philippe
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©Emmanuel
Vieillard Baron 01-01-2001
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![$ P\in A[X]$](/p/g/b/img473.png){kind=small}
avec
primitif et
et
