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monter: L'espace de probabilités précédent: La tribu des évènements

La probabilité

Définition Etant donnés un espace d'observables $\Omega$ et une tribu d'évènements $\mathcal{A}$ formée de certains sous ensembles de $\Omega$ , une probabilité est une application de $\mathcal{A}$ dans , donc un procédé qui associe à tout évènement un nombre compris entre 0 et 1 appelé probabilité de , et qui satisfait aux axiomes suivants

L' évènement certain est de probabilité 1: $P(\Omega)=1.$
Axiome d'additivité dénombrable: pour toute suite $A_1,A_2,\ldots, A_n\ldots$ d'évènements de $\mathcal{A}$ qui sont de plus deux à deux disjoints, c'est à dire tels que $A_k\cap A_j=\emptyset$ si $k\neq j,$ alors la série

$\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}P(A_k)$
converge et a pour somme $P(\bigcup_{k\geq 1}A_k).$

Le triplet $(\Omega,\mathcal{A},P)$ est alors appelé un espace de probabilité.

Voici quelques conséquences immédiates des axiomes.

Théorème 1.2 Soit $(\Omega,\mathcal{A},P)$ un espace de probabilité. Alors

$P(\emptyset)=0.$
Si $A_1,A_2,\ldots, A_n$ dans $\mathcal{A}$ sont deux à deux disjoints, alors

$\displaystyle P(A_1\cup \cdots\cup A_n)=P(A_1)+\cdots+P(A_n);$
en particulier
Si et sont dans $\mathcal{A}$ et si $A\subset B$ alors $P(A)\leq P(B).$

Démonstration

1) L'axiome d'additivité dénombrable est appliquable à la suite constante définie par $A_n=\emptyset$ , qui est effectivement formée d'évènements deux à deux disjoints. La série dont le terme général $P(\emptyset)$ est constant ne peut converger que si ce terme général est 0.

2) Sa première partie se démontre en appliquant l'axiome d'additivité dénombrable à $A_1,A_2,\ldots, A_n$ continuée par $\emptyset=A_{n+1}=A_{n+2}=\cdots,$ et en utilisant le 1). Appliquer ça à , et fournit $1=P(\Omega)=P(A)+P(A^c)$ en utilisant le premier axiome d'une probabilité.

3) On écrit $B=A\cup (B\setminus A)$ comme réunion de deux ensembles disjoints (notez que $B\setminus A=B\cap A'$ est bien dans $\mathcal{A}),$ et on applique le 2): $P(B)= P(A)+P(B\setminus A)\geq P(A).$

Théorème 1.3 Soit $(\Omega,\mathcal{A},P)$ un espace de probabilité. Alors

Si et sont dans $\mathcal{A}$ , mais ne sont pas nécessairement disjoints, alors

$\displaystyle P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B).$
Si les $A_1,A_2,\ldots, A_n$ dans $\mathcal{A}$ ne sont pas nécessairement deux à deux disjoints, alors

$\displaystyle P(A_1\cup \cdots \cup A_n)\leq P(A_1)+\cdots+P(A_n).$
Continuités croissante et décroissante: Soit une suite $B_1,B_2,\ldots, B_n\ldots$ d'évènements de $\mathcal{A}$ qui soit ou bien croissante (c'est à dire que pour tout $n\geq 1$ on a $B_n\subset B_{n+1}$ ) ou bien décroissante (c'est à dire que pour tout $n\geq 1$ on a $B_n\supset B_{n+1}$ ). Alors, dans le cas croissant:

$\displaystyle \lim_{n\rightarrow +\infty}P(B_n)=P(\bigcup_{n\geq 1}B_n);$
et dans le cas décroissant:

$\displaystyle \lim_{n\rightarrow +\infty}P(B_n)=P(\bigcap_{n\geq 1}B_n).$
Sous additivité dénombrable: Soit une suite $B_1,B_2,\ldots, B_n\ldots$ d'évènements de $\mathcal{A}$ . Alors ou bien la série $\sum_{k=1}^{\infty}P(B_k)$ diverge; ou bien elle converge et dans ce cas sa somme est $\geq P(\bigcup_{n\geq 1}B_n).$

Démonstration

On écrit comme dans la démonstration précédente:

$\displaystyle P(B)= P(A\cap B)+P(B\setminus A), P(A)= P(A\cap B)+P(A\setminus B),$
puis on écrit $A\cup B=(A\cap B)\cup (B\setminus A)\cup (A\setminus B)$ comme réunion de trois ensembles deux à deux disjoints et on applique le 2):

$\displaystyle P(A\cup B)=P(A\cap B)+P (B\setminus A)+P(A\setminus B)=$

$\displaystyle P(A\cap B)+ (P(B)- P(A\cap B))+(P(A)- P(A\cap B))=P(A)+P(B)-P(A\cap B);$

Pour terminer le 1) on démontre le résultat par récurrence sur . C'est trivial pour Si c'est démontré pour , appliquons la première partie de ce 1) à $A=A_1\cup \cdots \cup A_n$ et à $B=A_{n+1}$ . On obtient, à l'aide de l'hypothèse de récurrence

$\displaystyle P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\leq P(A)+P(B) \leq (\sum_{k=1}^nP(A_k))+P(A_{n+1}).$
Dans le cas croissant, posons et, pour $n\geq 2$ , $A_n=B_n\setminus B_{n-1}$ . Les $A_1,A_2,\ldots, A_n\ldots$ sont alors deux à deux disjoints. La série $\sum_{k=1}^{\infty}P(A_k)$ est donc convergente. D'après la partie 2) de la proposition précédente, on a

$\displaystyle P(B_n)=P(A_1\cup \cdots\cup A_n)=\sum_{k=1}^nP(A_k)$
Passons à la limite dans l'égalité ci dessus; on obtient

$\displaystyle \lim_{n\rightarrow +\infty}P(B_n)=\sum_{k=1}^{\infty}P(A_k).$

Or d'après l'axiome d'additivité dénombrable, le second membre est $P(\bigcup_{k\geq 1}A_k)$ , qui est aussi par définition des égal à $P(\bigcup_{n\geq 1}B_n).$
Dans le cas décroissant, on se ramène au cas précédent par passage au complémentaires, à l'aide de la loi de Morgan: le complémentaire d'une union est l'intersection des complémentaires:

$\displaystyle \lim P(B_n)=1-\lim P(B_n^c)=1-P(\cup_{n\geq 1}B_n^c)= 1-\left(1-P(\cap_{n\geq 1}B_n)\right)=P(\cap_{n\geq 1}B_n).$
La suite d'évènements définie par $C_n=B_1\cup \cdots\cup B_n$ est croissante et on peut lui appliquer le 2). En utilisant aussi la sous additivité finie on a donc

$\displaystyle P(\bigcup_{n\geq 1}B_n)=\lim_{n\rightarrow +\infty}P(C_n) \leq\lim_{n\rightarrow +\infty}(P(B_1)+\cdots+P(B_n)) =\sum_{k=1}^{\infty}P(B_k).$

Exercices sur la section 1.

Soit trois évènements d'un espace de probabilité. Montrer à l'aide du Th. 1.2 ) que

$\displaystyle P(A\cup B\cup C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A\cap B)-P(B\cap C)- P(C\cap A)+P(A\cap B\cap C).$
Etablir une formule de ce genre pour une réunion de 4 évènements.
Soit $\mathcal{A}$ une tribu d'évènements sur $\Omega$ , et soit une fonction positive sur $\mathcal{A}$ ayant les propriétés suivantes: $f(\Omega)=1$ , $f(A\cup B)=f(A)+f(B)$ si et sont des évènements disjoints et , si est une suite décroissante de $\mathcal{A}$ telle que $\cap_{n\geq1}B_n=\emptyset$ alors

$\displaystyle \lim_{n\rightarrow +\infty}f(B_n)=0.$
Montrer qu'alors est une probabilité. Méthode: si est une suite d'évènements deux à deux disjoints, considérer

$\displaystyle B_n=\cup_{k\geq n+1}A_k.$