Idéal premier et racine d'un idéal

Proposition Soit A un anneau commutatif et unitaire ; soit un idéal strict de A. Notons l'ensemble des idéaux premiers de A qui contiennent .
Alors :

1. .
2. .

1. P() : En effet, est un idéal strict de A, donc il existe un idéal maximal contenant . Or est maximal donc premier. Par suite P() contient .
2. Montrons la double inclusion : A/: : Soit x ; il existe donc un entier n1 tel que x. Soit un idéal premier contenant . On montre aisément par récurrence que si un élément y de A n'est pas dans , alors aucune puissance de y n'est dans . (Car est premier). Comme x, alors x , et d'après ce que l'on vient d'énoncer, on a x. Comme ceci est vrai pour tout idéal premier contenant , on a bien . B/ : Soit x . Supposons que x . Soit S= l'ensemble des puissances de x. Alors x implique que . Facilement, S est une partie multiplicative de A. Alors on sait qu'il existe un idéal premier tel que et S=. implique que P() , et par suite x (puisque x ). Mais d'autre part S= implique que xd (puisque xS ) : absurde ! Donc l'hypothèse x est fausse.

Corollaire Soit A un anneau commutatif et unitaire; soit x un élément de A.
Alors on a équivalence entre:

1. x est nilpotent.
2. x est élément de tout idéal premier de A.

Démonstration Soit spp(A) l'ensemble des idéaux premiers de A (le spectre premier de A). Alors la proposition précédente implique que = ; ce qui démontre le corollaire. (cf. exo3 pour la définition de nilpotent).
Corollaire Soit A un anneau commutatif, unitaire et intègre.
Alors l'intersection de tous les idéaux premiers de A est .

Démonstration Si A est intègre, il est immédiat que le seul élément nilpotent est 0 ; autrement dit, (i.e. l'idéal (0) est radiciel, i.e. l'anneau A est réduit). Ainsi d'après le corollaire précédent, =(0).