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Approximation d'ouverts par des compacts

Lemme Soit un ouvert de $\mathbb{R}^n$ . Pour $m \geq 1$ , notons l'intersection de

$\displaystyle \{ x \in U / d(x,U^c)\geq \frac1m\}$

et de

$\displaystyle \overline B(0,m)$

Alors:

$\bullet$ Pour tout est compact

$\bullet$ $K_m \subset Int(K_{m+1})$

$\bullet$ $U=\cup_i K_i$

$\bullet$ $\forall K$ compact de $\exists m / K \subset K_m$

Ce résultat servira par exemple pour le corollaire , ou pour l'utilisation de la définition , ou pour la proposition .

Démonstration: $\bullet$ est borné (clairement), est une intersection de deux fermés (rappelons que pour une partie non vide donnée l'application qui à un point associe sa distance à cette partie est continue, voir proposition ). Un fermé borné de $\mathbb{R}^n$ est compact (corollaire ).

$\bullet$ Il suffit de voir que l'intérieur d'une intersection finie est l'intersection des intérieurs.

$\bullet$ La distance d'un point de au complémentaire de est car le complémentaire de est fermée (un point à distance nulle d'un fermé est dans ce fermé).

$\bullet$ Soit un compact inclus dans .

L'inf de la distance d'un point de au complémentaire de est grâce à un corollaire précédent. Donc cette distance est supérieure à pour assez grand. Il suffit ensuite de prendre assez grand pour que soit inclus dans la boule fermé $\overline B(0,m)$ . $\sqcap$ $\sqcup$

Lemme [Approximation d'ouverts du plan par des compacts pas trop troués]

Soit $\Omega$ un ouvert de $\mathbb{C}$ (on pourrait dire $\mathbb{R}^2$ ). Alors il existe une suite de compacts inclus dans $\Omega$ tels que:

$\bullet$ $K_n \subset Int(K_{n+1})$

$\bullet$ Tout compact de $\Omega$ est inclus dans un certain

$\bullet$ Toute composante connexe de $(\mathbb{C}\cup \{\infty\}) \setminus K_n$ contient une composante connexe de $(\mathbb{C}\cup \{ \infty\}) \setminus \Omega$

La dernière condition signifie simplement qu'il n'y a pas de "trous" superflus dans les . La seconde condition implique que la réunion des est $\Omega$ .

Démonstration: On utilise les mêmes que dans la partie précédentes.

Le seul problème est de vérifier que la dernière condition est vérifiée.

On se donne donc une composante connexe de $\hat C\setminus K_n$ ^1.1, et appartenant à cette composante connexe.

Alors nécessairement $\vert x\vert> n$ ou $\vert x-f\vert<1/n$ pour un certain dans , avec le complémentaire de $\Omega$ .

Dans le cas $\vert x\vert> n$ , alors les ${\lambda}.x$ , pour ${\lambda}$ réels $\geq 1$ , forment une demi-droite, qui unie à $\{\infty\}$ , forme un connexe, inclus dans , et intersectant une composante connexe de $\hat C \setminus \Omega$ (puisque $\infty \not \in \Omega$ !).