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Application continue sur un espace métrique

On considérera ici, en plus de l'espace métrique produit (X, ${\cal O)}$ déjà définit précédemment, un espace métrique (Y,d').
Proposition L'application $f:\,Y\longrightarrow X$ est continue sur Y pour les métriques respectives de X et Y si et seulement si les applications $\Pi \circ f$ sont continues sur Y pour tout i=1,..,k.
Démonstration Supposons que

est continue sur Y. Alors comme la composée de deux applications continues est continue

, les applications $\Pi \circ f$ sont continues pour tout i=1,..,k.
Supposons maintenant que, pour tout i=1,..,k, $\Pi \circ f$ est continue. Pour montrer que

est continue sur Y, il suffit qu'elle soit continue en chaque point x de Y

. Prenons donc x dans Y et choisissons une suite $(x_n)_{\scriptsize {n \in {\rm I\!N\,}}}$ de points de Y convergeant vers x. Montrer que

est continue en x revient à montrer l'égalité $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow \infty}f(x_n)}$ =

( $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow \infty}x_n}$ )

. Si l'on note, pour tout i=1,...,k, $f_i=\Pi_i \circ f$ , on a, d'après le théorème précédent sur les suites coordonnées $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow \infty}f(x_n)}$ =( $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow \infty}f_1(x_n)}$ ,..., $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow \infty}f_k(x_n)}$ ). Mais comme les applications

sont continues en x, ( $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow \infty}f_1(x_n)}$

,..., $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow \infty}f_k(x_n)}$ )=

. On a donc bien montré l'égalité voulue et f est bel et bien continue en x
Proposition Soit (X,d) un espace métrique. L'application $d:\,X \times X\longrightarrow {\rm I\!R\,}$ est continue ( et même 2-Lipschitzienne

) sur $X\times X$ muni de la topologie produit héritée de la métrique d.
Démonstration Posons

$\begin{displaymath}\delta : (X \times X) \times (X \times X) \longrightarrow {\r... ...,y_2)) \longrightarrow \displaystyle{ \sup_{i=1}^2 d(x_i,y_i)}.\end{displaymath}$

$\delta$ n'est rien d'autre que la métrique produit héritée de d sur $X\times X$ . De plus $\mid d(x_1,y_1)-d(x_2,y_2)\mid \,\leq\,2\, sup \, \, d(x_i,y_i)\,\leq 2\,\delta((x_1,y_1),(x_2,y_2))$ Cqfd.