Préface

Ces notes de cours sont issues de l'enseignement du module de Mathématiques 2 (U.E. MIP2) du DEUG MIAS, au Département Scientifique Interfacultaire de l'Université Antilles-Guyane (campus de Schoelcher), au printemps 2001.

La première partie «Analyse 2» de ce cours traite des sujets

1. Calcul intégral,
2. Fonctions équivalentes et développements limités,
3. Equations différentielles du 1^er et 2^nd ordre,
4. Fonctions à valeur dans et courbes paramétrées.

1. Eléments de logique élémentaire,
2. Calcul dans ,
3. Suites réelles (convergence, limite,...),
4. Calcul dans et fonctions circulaires,
5. Fonctions numériques de la variable réelle,
6. Fonctions usuelles et fonctions réciproques.

Le chapitre sur le calcul intégral est de loin le plus volumineux. Il commence par une introduction à l'intégrale de Riemann. Cette notion ne figure pas explicitement au programme, on peut donc passer directement à la notion de primitive et ainsi définir l'intégrale indéfinie et définie.  (Dans ce cas, le théorème fondamental du calcul infinitésimal devient trivial, et seules les fonctions continues sont intégrables.)  Le chapitre termine sur la décomposition en éléments simples, qui en constitue presque la moitié. Dans cette partie plutôt algébrique, on admet quelques résultats concernant la décomposition de polynômes.

Etant limité dans le temps (ce cours devrait être enseigné en un total de 16 heures), on peut admettre quelques autres démonstrations un peu techniques (intégrabilité de fonctions continues, théorème de Taylor-Young).

Les chapitres sont presque indépendants, mais on utilise l'intégration pour les équations différentielles, et les développements limités pour l'analyse des points singuliers des courbes paramétrées. Notons aussi que nous faisons le lien avec l'algèbre linéaire (notion de sous-espace vectoriel, application linéaire, noyau) lors de l'intégration et dans le cadre des équations différentielles linéaires.

En cette année 2001, le cours magistral a commencé avec le chapitre, pour pouvoir donner plus rapidement des exercices calculatoires aux étudiants (par rapport au chapitre sur l'intégration, qui comprend une partie théorique avant de donner les techniques pour des calculs appliqués.

En ce qui concerne les équations différentielles, on se limite à celles du 1er ordre qui sont à variables séparées ou alors linéaires, et celles du 2nd ordre qui sont linéaires, à coefficients constants.

Préface à la deuxième édition

La structure globale du cours n'a pas changé, mais quelques modifications concernant la mise en page et la présentation ont été faites.

Les fonctions négligeables et équivalentes constituent maintenant des sous-chapitres indépendantes précédant celui des D.L.

Quelques notions concernant l'intégrale de Riemann sont présentés un peu différemment, et une figure a été ajoutée.

Les passages trop sommaires dans les D.L. ont été complétés.

Quelques erreurs ont été éliminées et une figure ajoutée dans le dernier chapitre.

• Calcul intégral
  • Intégrale de Riemann
    • Subdivisions et sommes de Darboux
    • Fonctions Riemann-intégrables, intégrale de Riemann
    • Sommes de Riemann
  • Propriétés de l'intégrale de Riemann
  • Intégrale de Riemann et primitives
    • Primitive d'une fonction continue
    • Existence d'une primitive
    • Intérêt de la primitive
  • Pratique du Calcul intégral
    • Intégrale indéfinie
    • Primitives des fonctions usuelles
    • Intégration par parties
    • Formule de Taylor avec reste intégral
    • Changement de variable d'intégration
    • Formule de la moyenne généralisée.
  • Intégration de fractions rationnelles: décomposition en éléments simples
    • Division euclidienne
    • Polynômes irreductibles
    • Pôles et éléments simples
    • Calcul des coefficients d'une décomposition en éléments simples
    • Application au calcul de primitives
    • Primitives des fonctions rationnelles de et
      • Méthode d'intégration:
    • Autres fractions rationnelles