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muni d'une mesure

$\mu$ ,

un espace métrique. $f:E\times X \to \mathbb{C}$ , $F(t)=\int_X f(t,x) d\mu(x)$

Hypothèses

Conclusion

Pour tout

l'application $x\mapsto f(t,x)$ est mesurable

Pour presque tout la fonction $t\mapsto f(t,x)$ est continue en

Il existe telle que pour tout et presque tout $\vert f(t,x)\vert\leq g(x)$

est continue en .

Pour tout

l'application $x\mapsto f(t,x)$ est mesurable

Pour presque tout la fonction $t\mapsto f(t,x)$ est continue sur

Pour tout compact de il existe telle que pour tout dans et presque tout $\vert f(t,x)\vert\leq g(x)$ .

est continue sur .

est un ouvert de $\mathbb{R}$ ou de $\mathbb{C}$ ¹
Pour presque tout $x\mapsto f(t,x)$ est
Il existe négligeable tel que pour tout $x\not\in N$ la fonction $t\mapsto f(t,x)$ est dérivable (resp. ) ².
Pour tout compact de il existe une fonction telle que pour tout dans et tout $x\not\in N$ $\vert\frac{\partial f}{\partial t}(t,x) \vert \leq g(x)$ .

¹ Hypothèse facile à retenir; il s'agit de pouvoir définir une dérivée au sens le plus commun, ie dérivée d'une fonction d'une variable réelle ou complexe!
² Attention ! Dans le cas d'un ouvert de $\mathbb{C}$ on parle de dérivabilité au sens complexe, et pas de différentiabilité en voyant $\mathbb{C}$ comme un $\mathbb{R}$ -espace vectoriel !

Pour tout la fonction $x \mapsto \frac{\partial f}{\partial x}(t,x)$ est
est dérivable (resp. ), de dérivée $\int_X \frac{\partial f}{\partial t}(t,x) dx$ .

est un ouvert de $\mathbb{R}$ ou un ouvert de $\mathbb{C}$ .
Pour presque tout $x\mapsto f(t,x)$ est
Il existe négligeable tel que pour tout $x\not\in N$ la fonction $t\mapsto f(t,x)$ est .
Pour tout compact de et tout $j\in[1,k]$ il existe une fonction telle que pour tout dans et tout $x\not\in N$ $\vert\frac{\partial ^j f}{\partial t^j}(t,x)\vert \leq g(x)$ .

Pour tout la fonction $x \mapsto \frac{\partial ^j f}{\partial t^j}(t,x)$ est
est , et pour $j\in [0,k]$ $\frac{\partial ^j F}{\partial t^j}=\int_X \frac{\partial ^j f}{\partial t^j} (t,x) dx$ .

L'indispensable sous le signe intégral