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Les séries entières

Soit $ \sum a_nz^n$ une série entière, $ R$ son rayon, $ A$ sa fonction somme.

Hypothèse Conclusion
Formule d'Hadamard
 
$ R=\frac1{limsup \vert a_n\vert^{1/n}}$ (avec $ 1/0=\infty$ et $ 1/\infty=0$)
Critère de D'Alembert
$ a_n$ non nul à partir d'un certain rang $ a_{n+1}/a_n$ tend vers $ L$
$ R=1/L$
Théorème de Césaro
$ (b_n)$ suite réelle $ >0$, $ (a_n)$ suite réelle, $ \sum b_n$ divergente, $ a_n=o(b_n)$ ou $ a_n \simeq b_n$, $ R$ rayon de convergence de $ \sum b_n z^n$
$ A(x)=\sum a_nx^n$ sur $ ]-1,1[$ bien défini, $ B(x)=\sum b_nx^n$ sur $ ]-1,1[$ bien défini, $ a=o(b) \Rightarrow A=o(B)$ en $ R$, $ a\simeq b \Rightarrow A \simeq B$ en $ R$


C_Antonini,J_F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 
 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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