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Suites de fonctions mesurables

Théorème $(X,{\cal A})$ mesurable, de quelconque dans métrique, telle que pour tout $f_k(x) \rightarrow f(x)$ . Alors est mesurable.

Démonstration: Soit un ouvert de , et l'ensemble des tels que $d(x,Y \setminus U)> 1/n$ , et soit l'ensemble des tels que $d(x,Y \setminus U) \geq 1/n$ .
On montre facilement que est ouvert et que est fermé.
L'union des est car est ouvert.
L'union des est donc aussi. (voir figure )

$\displaystyle f^{-1}(U)$

$\displaystyle =\cup_n f^{-1}(U_n)$

$\displaystyle =\cup_n \{u / lim_{k \rightarrow +\infty} f_k(u) \in U_n\}$

$\displaystyle \subset \cup_n \{u / \exists K / k \geq K \rightarrow f_k(u) \in U_n \}$

car

est un ouvert.

$\displaystyle \subset \cup_n \cup_K \cap_{k\geq K} f_k^{-1}(U_n) \in {\cal A}$

Considérons maintenant

$\displaystyle \cup_n \cup_K \cap_{k\geq K} f_k^{-1}(U_n)$

$\displaystyle \subset \cup_n \cup_K \cap_{k \geq K} f_k^{-1}(F_n)$

or $u \in \cup_K \cap_{k \geq K} f_k^{-1}(F_n)$ si et seulement si

$\displaystyle \exists K / \forall k \geq K, f_k(u) \in F_n$

donc

$\displaystyle \subset \cup_n f^{-1}(F_n) = f^{-1}(\cup F_n)= f^{-1}(F_n)=f^{-1}(U)$

donc $f^{-1}(U) \in {\cal A}$ , donc

est mesurable. $\sqcap$ $\sqcup$

**Figure:** Illustration de la preuve de la mesurabilité de la limite simple d'une suite de fonctions mesurables.
$\begin{figure}\begin{displaymath} \epsfxsize =6cm \epsfbox{limmes.eps}\end{displaymath}\end{figure}$

Corollaire suite de fonctions mesurables de $(X,{\cal A})$ dans $[0,+\infty]$ ou $\overline {\mathbb{R}}$ , alors $lim_{n \rightarrow +\infty} sup_{k\geq n} f_k$ et $lim_{n \rightarrow +\infty} inf_{k\geq n} f_k$ existent et sont mesurables.

Démonstration: Rappelons simplement qu'une fonction monotone a nécéssairement une limite dans $\mathbb{R}$ . $\sqcap$ $\sqcup$

Proposition Si pour tout $n\in \mathbb{N}$ est mesurable de dans $\overline {\mathbb{R}}$ , alors $sup_{n \in \mathbb{N}} f_n$ est mesurable.

Démonstration: Il suffit de considérer les images réciproques d'ensembles de la forme $]a,+\infty]$ par les . Plus précisément, fixons , et considérons $E_n=f_n^{-1}(]a,+\infty[)$ . Avec , $E=f^{-1}(]a,\infty[)$ est égal à $\cup E_n$ , et donc est mesurable. Les boréliens sont engendrés par les intervalles $]a,+\infty[$ ; donc est bien mesurable. $\sqcap$ $\sqcup$